第8章 闭环控制与PID
8 第 8 章 闭环控制与 PID¶
本章核心内容：闭环反馈控制基本理论、PID 控制器原理与分析方法、离散化与嵌入式实现要点、控制器调参方法、以及工程实例（直流电机速度闭环控制）。本章目标面向研究生层次，注重理论推导与工程实现结合，提供必要的图形与表格辅助理解，并包含可运行的核心代码片段与习题。
学习目标：
- 理解闭环控制系统的基本结构、传递函数表示与稳态/瞬态性能指标。
- 掌握 PID 控制器的作用原理、频域与时域分析以及常用调参方法（如 Ziegler–Nichols、频域整定）。
- 能够在资源受限的嵌入式平台上实现离散 PID，处理采样、反风（anti-windup）、滤波与定点实现问题。
- 能够设计并验证一个基于嵌入式系统的闭环控制工程（例：直流电机速度控制），并进行性能评估与调整。
8.1 闭环反馈控制基础¶
图形优先：闭环控制标准框图
图 8-1 该框图展示了闭环反馈控制基础的核心结构，读者可以从中把握各功能单元的层次划分与协作方式。
8.1.1 框图详细解释¶
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参考输入 r(t)：这是系统期望达到的目标值，也称为设定值。例如，在电机速度控制中，参考输入就是我们想要电机达到的转速（如 1000 RPM）；在温度控制中，参考输入就是设定的目标温度（如 60°C）。
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求和节点 Σ：这个节点将参考输入与反馈信号进行比较，计算出误差信号。误差 e(t) = r(t) - y(t)。如果系统输出与目标值完全一致，误差为零。这里的负号表示反馈是负反馈，这是保证系统稳定的关键。
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控制器 C(s)：控制器接收误差信号，根据特定的控制算法（如 PID 算法）计算出控制量。控制器的作用是根据误差大小来决定如何调整系统，使输出接近参考输入。在频域分析中，控制器用传递函数 C(s) 表示。
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控制信号 u(t)：这是控制器的输出信号，直接作用于被控对象。例如，在 PWM 电机控制中，控制量就是 PWM 的占空比（0-100%）；在电压控制中，控制量就是输出电压值。
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被控对象 G(s)：这是我们实际要控制的物理系统或过程。例如：直流电机、加热炉、机械臂、液压系统等。被控对象接收控制量并产生相应的输出响应。在频域分析中，被控对象用传递函数 G(s) 表示。
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系统输出 y(t)：这是被控对象的实际输出值，通过传感器测量得到。例如：电机的实际转速、加热器的实际温度、机械臂的实际位置等。
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反馈路径：系统输出通过反馈路径回到求和节点，与参考输入进行比较。这是闭环控制系统区别于开环控制系统的关键特征。通过反馈，系统可以根据实际输出与期望输出的差异来自动调整控制策略。
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干扰 d(t)：这是外部或内部的扰动因素，会影响被控对象的输出。例如：电机负载变化、电源电压波动、环境温度变化等。闭环控制的一个主要优势就是能够抑制干扰的影响，使系统输出保持在期望值附近。
8.1.2 闭环控制的工作原理¶
图 8-2 上图刻画了闭环控制的工作原理涉及的主要交互流程，便于理解各环节的时序依赖与因果关系。
8.1.3 闭环控制流程详细说明¶
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开始：闭环控制循环的起点。
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设定参考输入：确定系统的目标值 r(t)，例如电机期望转速、温度设定值等。这是控制系统的期望输出。
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测量系统输出：通过传感器实时测量被控对象的实际输出 y(t)，例如电机的实际转速、当前温度等。精确的测量是闭环控制的基础。
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计算误差：将参考输入与实际输出进行比较，计算误差信号 e(t) = r(t) - y(t)。误差反映了系统当前状态与目标状态的差距。
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误差判断：判断误差是否在可接受的容差范围内：
- 是：如果误差很小或为零，说明系统输出已经接近或达到目标值，此时保持输出稳定，继续监控。
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否：如果误差较大，需要控制器进行调节。
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控制器计算控制量：控制器（如 PID）根据误差信号 e(t)，按照预设的控制算法计算出控制量 u(t)。控制算法决定了系统的响应特性。
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控制量作用于被控对象：将计算出的控制量 u(t) 施加到被控对象上，例如改变 PWM 占空比、调整电压等。
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被控对象输出变化：被控对象接收控制信号后，其输出发生相应变化，向目标值靠近。
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反馈与循环：新的输出值被反馈回来，系统回到测量步骤，重复上述过程，形成持续的闭环控制循环。
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结束判断：根据应用需求，判断是否需要停止控制循环。如果需要，退出循环；否则继续运行。
通过这种持续的反馈和调整，闭环控制系统能够： - 减小或消除稳态误差 - 提高系统响应速度 - 增强系统抗干扰能力 - 改善系统稳定性
关键概念：误差、控制器、被控对象（对象模型常以传递函数 G(s) 表达）、闭环传递函数 H_cl(s) = C(s)G(s) / (1 + C(s)G(s))。性能指标包括响应时间、稳态误差、过冲、相位裕度与增益裕度等。
短文补充：通过极点-零点分析可以判断系统的稳定性与瞬态响应；Nyquist、Bode 与根轨迹是频域与复平面分析的主要工具，适合用于控制器设计与鲁棒性分析。
8.2 PID 控制器原理¶
PID（比例-积分-微分）控制器是工程上最常用的控制器之一，其连续时间形式为：
C(s) = K_p + K_i / s + K_d * s
图形：PID 算法功能分解
图 8-3 上图以框图形式描绘了 PID 控制器原理的系统架构，清晰呈现了各模块之间的连接关系与信号流向。
- 比例项 (P)：提供与误差成比例的控制作用，能减小稳态误差但可能产生稳态偏差；
- 积分项 (I)：累积误差以消除稳态误差，但会降低相位裕度并可能引起超调与振荡；
- 微分项 (D)：对误差变化率反应，改善稳态前的阻尼与响应速度，但对噪声敏感。
表格：PID 参数对系统作用简述
表 8-1
| 参数 | 主效应 | 风险/注意事项 |
|---|---|---|
| Kp | 增强响应速度，降低稳态误差 | 过大引起超调或振荡 |
| Ki | 消除稳态误差 | 增大系统低频增益，可能导致震荡、积分饱和 |
| Kd | 增加阻尼，改善超调 | 对高频噪声敏感，需要滤波 |
8.3 PID 的时域与频域分析¶
8.3.1 时域性能指标¶
图 8-4 该框图展示了时域性能指标的核心结构，读者可以从中把握各功能单元的层次划分与协作方式。
表 8-2 时域性能指标
| 指标 | 符号 | 定义 | 工程意义 |
|---|---|---|---|
| 上升时间 | $t_r$ | 响应从 10% 上升到 90% 的时间 | 反映系统响应速度 |
| 峰值时间 | $t_p$ | 响应首次达到峰值的时间 | 反映系统振荡特性 |
| 超调量 | $M_p$ | $(y_{max} - y_{ss}) / y_{ss} \times 100\%$ | 一般要求 < 20% |
| 调节时间 | $t_s$ | 响应进入 ±2% 或 ±5% 误差带的时间 | 反映系统稳定速度 |
| 稳态误差 | $e_{ss}$ | $\lim_{t \to \infty} [r(t) - y(t)]$ | 系统精度指标 |
上表对时域性能指标中各方案的特性进行了横向对比，便于读者根据实际需求选择最合适的技术路线。
8.3.2 频域分析要点¶
表 8-3 频域分析通过 Bode 图、Nyquist 图来评估闭环系统的稳定性与鲁棒性。
| 频域指标 | 定义 | 稳定性要求 |
|---|---|---|
| 增益裕度 (GM) | 开环增益达到 -180° 时的增益余量 | GM > 6 dB |
| 相位裕度 (PM) | 开环增益 = 0 dB 时相位距 -180° 的余量 | PM > 30°（一般 45°–60°） |
| 带宽频率 | 闭环幅频响应下降 -3 dB 的频率 | 带宽越大响应越快 |
通过上表的对比可以看出，不同方案在频域指标、定义、稳定性要求等方面各有优劣，实际选型时应结合具体应用场景综合权衡。
图 8-5 上图直观呈现了频域分析要点的组成要素与数据通路，有助于理解系统整体的工作机理。
8.4 PID 离散化与嵌入式实现¶
在嵌入式系统中，PID 控制器需要以离散形式实现。连续 PID 经过零阶保持器离散化后：
8.4.1 位置式 PID¶
$u(k) = K_p e(k) + K_i T_s \sum_{j=0}^{k} e(j) + K_d \frac{e(k) - e(k-1)}{T_s}$
8.4.2 增量式 PID¶
$\Delta u(k) = K_p [e(k) - e(k-1)] + K_i T_s e(k) + K_d \frac{e(k) - 2e(k-1) + e(k-2)}{T_s}$
图 8-6 上图以框图形式描绘了增量式 PID 的系统架构，清晰呈现了各模块之间的连接关系与信号流向。
表 8-4 增量式 PID
| 特性 | 位置式 PID | 增量式 PID |
|---|---|---|
| 输出量 | 绝对控制量 $u(k)$ | 增量 $\Delta u(k)$ |
| 积分累积 | 需要维护积分累加 | 无需积分累加 |
| 抗饱和 | 需显式 anti-windup | 天然无积分饱和 |
| 无扰切换 | 需预置初始值 | 自动平滑切换 |
| 手/自动切换 | 复杂 | 简单 |
| 适用场景 | 位置/温度控制 | 电机速度/流量控制 |
上表对增量式 PID 中各方案的特性进行了横向对比，便于读者根据实际需求选择最合适的技术路线。
8.4.3 C 语言实现：位置式 PID¶
typedef struct {
float Kp, Ki, Kd; // PID 增益
float Ts; // 采样周期 (s)
float integral; // 积分累加
float prev_error; // 上次误差
float output_min; // 输出下限
float output_max; // 输出上限
} PID_Handle;
void PID_Init(PID_Handle *pid, float Kp, float Ki, float Kd, float Ts) {
pid->Kp = Kp;
pid->Ki = Ki;
pid->Kd = Kd;
pid->Ts = Ts;
pid->integral = 0.0f;
pid->prev_error = 0.0f;
pid->output_min = -100.0f;
pid->output_max = 100.0f;
}
float PID_Compute(PID_Handle *pid, float setpoint, float measurement) {
float error = setpoint - measurement;
// 积分项累加
pid->integral += error * pid->Ts;
// 微分项
float derivative = (error - pid->prev_error) / pid->Ts;
// PID 输出
float output = pid->Kp * error
+ pid->Ki * pid->integral
+ pid->Kd * derivative;
// 输出限幅
if (output > pid->output_max) output = pid->output_max;
if (output < pid->output_min) output = pid->output_min;
pid->prev_error = error;
return output;
}
8.5 Anti-windup 与工程化处理¶
8.5.1 积分饱和问题¶
当执行器饱和（如 PWM 已达 100%）但误差仍存在时，积分项会持续累加（windup），导致控制量远超执行器能力。当误差反转后，系统需要长时间"反积分"才能恢复，造成严重超调。
图 8-7 该框图展示了积分饱和问题的核心结构，读者可以从中把握各功能单元的层次划分与协作方式。
8.5.2 Anti-windup 策略¶
表 8-5 Anti-windup 策略
| 策略 | 原理 | 实现复杂度 |
|---|---|---|
| 积分限幅 | 限制积分项的最大/最小值 | 低 |
| 条件积分 | 仅在误差小于阈值时积累 | 低 |
| 反算法 (Back-calculation) | 用输出饱和差反向修正积分 | 中 |
| 积分分离 | 大误差时关闭积分 | 低 |
带 Anti-windup 的 PID 实现：
float PID_Compute_AntiWindup(PID_Handle *pid, float sp, float meas) {
float error = sp - meas;
float derivative = (error - pid->prev_error) / pid->Ts;
// 条件积分：仅在误差较小时积累
if (fabsf(error) < pid->integral_threshold) {
pid->integral += error * pid->Ts;
}
// 积分限幅
if (pid->integral > pid->integral_max) pid->integral = pid->integral_max;
if (pid->integral < -pid->integral_max) pid->integral = -pid->integral_max;
float output = pid->Kp * error
+ pid->Ki * pid->integral
+ pid->Kd * derivative;
// Back-calculation anti-windup
float output_sat = output;
if (output_sat > pid->output_max) output_sat = pid->output_max;
if (output_sat < pid->output_min) output_sat = pid->output_min;
pid->integral += (output_sat - output) / (pid->Ki + 1e-6f) * pid->Ts;
pid->prev_error = error;
return output_sat;
}
8.5.3 微分滤波¶
微分项对高频噪声极为敏感，工程中通常加一阶低通滤波器：
$$ D_{filtered}(k) = \alpha \cdot D_{raw}(k) + (1 - \alpha) \cdot D_{filtered}(k-1) $$
其中 $\alpha = T_s / (T_s + T_f)$，$T_f$ 为滤波时间常数（一般取 $T_d / 8$ 到 $T_d / 2$）。
另一种常用做法是微分作用于测量值而非误差（Derivative on Measurement），避免设定值跃变时的微分冲击：
图 8-8 上图直观呈现了微分滤波的组成要素与数据通路，有助于理解系统整体的工作机理。
8.6 PID 调参方法¶
8.6.1 Ziegler-Nichols 临界比例法¶
这是最经典的 PID 调参方法，步骤如下：
- 将 $K_i = 0$，$K_d = 0$，仅保留比例控制
- 逐步增大 $K_p$ 直到系统持续等幅振荡
- 记录此时的临界增益 $K_u$ 和振荡周期 $T_u$
- 根据下表设定 PID 参数
表 8-6 Ziegler-Nichols 临界比例法
| 控制器类型 | $K_p$ | $T_i$ | $T_d$ |
|---|---|---|---|
| P | $0.50 K_u$ | — | — |
| PI | $0.45 K_u$ | $T_u / 1.2$ | — |
| PID | $0.60 K_u$ | $T_u / 2.0$ | $T_u / 8.0$ |
其中 $K_i = K_p / T_i$，$K_d = K_p \cdot T_d$。
图 8-9 上图以框图形式描绘了 Ziegler-Nichols 临界比例法的系统架构，清晰呈现了各模块之间的连接关系与信号流向。
8.6.2 手动调参经验法¶
表 8-7 当无法进行临界振荡实验时，采用经验法逐步整定：
| 步骤 | 操作 | 观察目标 |
|---|---|---|
| 1 | 设 Ki=0, Kd=0，增大 Kp | 响应速度加快但不振荡 |
| 2 | 增加 Ki（从小到大） | 消除稳态误差，注意超调 |
| 3 | 增加 Kd（从小到大） | 抑制超调，改善收敛 |
| 4 | 微调三个参数 | 综合优化各指标 |
经验公式参考：
- 采样周期：$T_s \leq T_u / 10$（至少为振荡周期的 1/10）
- 微分滤波常数：$T_f \approx T_d / (3 \sim 8)$
8.7 工程实例：直流电机速度闭环控制¶
本节以 STM32 + 有刷直流电机 + 光电编码器组成典型闭环速度控制系统为例，完整演示从硬件连接到软件实现的全流程。
8.7.1 系统架构¶
图 8-10 该框图展示了系统架构的核心结构，读者可以从中把握各功能单元的层次划分与协作方式。
8.7.2 硬件参数¶
表 8-8 硬件参数
| 参数 | 值 | 说明 |
|---|---|---|
| MCU | STM32F103C8T6 | Blue Pill 开发板 |
| 电机 | JGA25-370 12V 有刷直流电机 | 减速比 1:21.3 |
| 编码器 | AB 相光电编码器 | 每转 11 脉冲 × 4 倍频 × 21.3 = 937 count/rev |
| 驱动 | TB6612FNG 双 H 桥驱动 | 支持正反转 + PWM 调速 |
| PWM 频率 | 20 kHz | TIM1 通道 1 |
| 编码器接口 | TIM3 编码器模式 | 4 倍频计数 |
| 控制周期 | 10 ms | TIM2 定时中断 |
上述参数配置是硬件参数的典型推荐值，实际工程中可根据硬件条件和性能需求进行适当调整。
8.7.3 完整实现代码¶
/* === 全局变量 === */
static PID_Handle speed_pid;
static volatile int32_t encoder_count = 0;
static float target_rpm = 0.0f;
/* === 编码器读取 === */
float Encoder_GetRPM(float Ts) {
int16_t count = (int16_t)__HAL_TIM_GET_COUNTER(&htim3);
__HAL_TIM_SET_COUNTER(&htim3, 0);
// count/rev = 11 * 4 * 21.3 = 937.2
float rpm = (float)count / 937.2f * (60.0f / Ts);
return rpm;
}
/* === PWM 输出 === */
void Motor_SetPWM(float duty) {
// duty: -100.0 ~ +100.0
if (duty >= 0) {
HAL_GPIO_WritePin(AIN1_GPIO_Port, AIN1_Pin, GPIO_PIN_SET);
HAL_GPIO_WritePin(AIN2_GPIO_Port, AIN2_Pin, GPIO_PIN_RESET);
} else {
HAL_GPIO_WritePin(AIN1_GPIO_Port, AIN1_Pin, GPIO_PIN_RESET);
HAL_GPIO_WritePin(AIN2_GPIO_Port, AIN2_Pin, GPIO_PIN_SET);
duty = -duty;
}
uint16_t pulse = (uint16_t)(duty / 100.0f * htim1.Init.Period);
__HAL_TIM_SET_COMPARE(&htim1, TIM_CHANNEL_1, pulse);
}
/* === 10ms 定时中断回调 === */
void HAL_TIM_PeriodElapsedCallback(TIM_HandleTypeDef *htim) {
if (htim->Instance == TIM2) {
float actual_rpm = Encoder_GetRPM(0.01f);
float output = PID_Compute_AntiWindup(&speed_pid,
target_rpm, actual_rpm);
Motor_SetPWM(output);
}
}
/* === 初始化 === */
void Motor_Control_Init(void) {
PID_Init(&speed_pid, 0.5f, 2.0f, 0.01f, 0.01f);
speed_pid.output_min = -100.0f;
speed_pid.output_max = 100.0f;
speed_pid.integral_max = 500.0f;
speed_pid.integral_threshold = 200.0f;
HAL_TIM_Encoder_Start(&htim3, TIM_CHANNEL_ALL); // 编码器
HAL_TIM_PWM_Start(&htim1, TIM_CHANNEL_1); // PWM
HAL_TIM_Base_Start_IT(&htim2); // 10ms 定时
}
8.7.4 调参过程记录¶
表 8-9 以下是该系统采用手动经验法整定的实际调参记录：
| 阶段 | Kp | Ki | Kd | 响应表现 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.2 | 0 | 0 | 响应慢，稳态误差 ~80 RPM |
| 2 | 0.5 | 0 | 0 | 响应加快，稳态误差 ~30 RPM |
| 3 | 0.5 | 1.0 | 0 | 消除稳态误差，超调 ~25% |
| 4 | 0.5 | 2.0 | 0 | 收敛更快，超调 ~18% |
| 5 | 0.5 | 2.0 | 0.01 | 超调降至 ~8%，调节时间 ~0.3s |
| 最终 | 0.5 | 2.0 | 0.01 | 稳态误差 < 5 RPM，超调 < 10% |
8.8 常见工程问题与对策¶
表 8-10 常见工程问题与对策
| 问题 | 原因 | 解决方案 |
|---|---|---|
| 电机不动 | 死区效应，低 PWM 不足以驱动 | 加前馈补偿死区 |
| 持续振荡 | Kp 过大或采样率不足 | 降低 Kp，提高采样率 |
| 收敛慢 | Kp 或 Ki 过小 | 增大比例或积分增益 |
| 超调严重 | 积分饱和或 Ki 过大 | 加 anti-windup，减小 Ki |
| 噪声引起抖动 | Kd 项放大编码器噪声 | 加微分低通滤波 |
| 单方向转动 | H 桥接线错误 | 检查 AIN1/AIN2 极性 |
上表汇总了常见工程问题与对策中常见的问题现象、可能原因及推荐解决方案，可作为排障时的快速参考手册。
图 8-11 上图直观呈现了常见工程问题与对策的组成要素与数据通路，有助于理解系统整体的工作机理。
8.9 本章小结¶
图 8-12 上图以框图形式描绘了本章小结的系统架构，清晰呈现了各模块之间的连接关系与信号流向。
本章从闭环控制基础出发，深入讲解了 PID 控制器的原理、时域/频域分析方法、离散化实现策略、Anti-windup 等工程化处理，以及 Ziegler-Nichols 和手动经验两种调参方法，最后通过 STM32 直流电机速度闭环控制的完整工程实例将理论与实践结合。
本章内容是后续第 9 章（传感器融合）、第 10 章（高级运动控制）的基础，尤其是第 10 章中的串级 PID、前馈控制和 MPC 都建立在本章的 PID 基础之上。
8.10 本章测验¶
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简述开环控制与闭环控制的本质区别，并举出各一个工程实例。
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对于一阶系统 $G(s) = \frac{1}{s+1}$，设计一个 PI 控制器使闭环系统无稳态误差，并分析参数选择对超调和响应速度的影响。
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解释位置式 PID 和增量式 PID 的区别。在电机速度控制场景中，为什么增量式更常用？
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什么是积分饱和（windup）？请描述至少两种 anti-windup 策略并比较其优缺点。
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在 STM32 上实现 PID 控制时，采样周期 $T_s$ 的选择需要考虑哪些因素？如果 $T_s$ 选取过大或过小分别会出现什么问题？